Dienstag, 12. April 2016

Wrap it

Was haben diese Dinge wohl alle gemeinsam? Richtig!
Sie sind rund, aber an den Seiten schräg.
Um die Außenseite eines Bechers o.ä. zu verkleiden, braucht man eine - passende - "Scheibenwischerform". Wie finde ich heraus, wie der optimale Wrapper dafür aussehen muss? Wie kann ich die Maße berechnen und das auch noch möglichst einfach? Das hat mich beschäftigt.
Ich denke, ich habe eine simple Formel gefunden - rechnen ohne Quadrieren, Wurzelziehen und π.

Links im Bild die Ausgangslage: ein konischer Becher, d.h. er hat die Form eines Kegels. Dem aber die Spitze fehlt (hellblau angedeutet).
Rechts im Bild das Ziel: Diese Form muss mein Wrapper-Material haben, damit es die Außenseite des Bechers genau bedeckt.

Problem:

Um die Scheibenwischerform zeichnen zu können, brauch ich den Radius L für den äußeren Kreis und den Radius K für den inneren. Die Maße könnte ich vom vollständigen Kegel abnehmen. Den hab ich aber nicht. Und den (Mindest-)Winkel des Kreisausschnitts, damit der Wrapper auch um den ganzen Becher rumgeht, kenn ich auch nicht.

Lösung:

Am Gefäß selbst kann ich andere Längen abmessen. Die drei in der Abbildung scheinen zwar unnütz, aber mit deren Hilfe kann ich die benötigten Angaben herausfinden. Man messe am Gefäß:
1. die Außendurchmesser der
unteren und der oberen Fläche
2. die Seitenlänge (C)
Die halben Durchmesser ergeben den Radius A der kleineren Fläche und den Radius B der größeren.

Formel:

Erst gilt es, den längeren Radius L zu ermitteln. Ist dann L bekannt, kann ich die beiden anderen Werte ausrechnen. Und damit meinen Wrapper zeichnen.
Besonders die erste Rechnung ist der aufwändigere Teil. Meine Lösung ist aber hoffentlich einfach genug geworden und in der Abbildung anschaulich dargestellt.
Zum Berechnen einfach die Platzhalter durch die gemessenen bzw. bereits ermittelten Zahlenwerte ersetzen.

Beispiel:

An die Pinnwand habe ich euch ein konkretes Beispiel geheftet:
Die Vorgaben im blauen Kasten sind willkürlich gewählt und beziehen sich nicht auf die abgebildeten Gefäße daneben. (Sie sollen nur darstellen, wo und was man messen muss, insbesondere, wenn der Gegenstand nicht durchgängig kegelförmig ist.)
Mit all den Veranschaulichungshilfen sind die Rechnungen hoffentlich nachvollziehbar.

Zeichnen:

Was brauche ich zum Zeichnen der Scheibenwischerform?
Eine Grafiksoftware, mit der man individuelle Kreisbögen bzw, -segmente zeichnen kann, und einen Drucker oder Plotter
oder - ganz "old school" - Zirkel, Winkelmesser/Geodreieck, Stift und Papier

Wer mit der Hand zeichnen möchte, aber nicht mehr recht weiß, wie das geht, für die hab ich eine kurze Anleitung in 5 Bildern erstellt. Mit Klick auf das Bild könnt ihr euch die PDF-Datei herunterladen.
Was muss ich machen, damit mein Wrapper auch eine Klebelasche hat?
Einfach zum berechneten Winkel ein paar Grad zugeben.
Was ist, wenn der Wrapper gar nicht bis zum oberen/unteren Rand meines Gefäßes gehen soll?

Soll oben ein Rand frei bleiben (in der Abb. rot), dann den Radius L entsprechend verkürzen; soll der Wrapper nicht bis ganz nach unten gehen (in der Abb. braun), dann den Radius K entsprechend größer festlegen.



Und? Was haltet ihr von dieser Methode? Probiert sie einfach mal aus.
Ich habe x Beispielrechnungen gemacht damit, also müsste sie wirklich allgemeingültig sein. Stellt ihr aber doch Unstimmigkeiten fest, lasst es mich wissen.
Überhaupt jegliches Feedback ist sehr, sehr willkommen!

Fia de Mathe-Fäns unta eich: Do steckt da Strahlensatz dahinta.

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